Page 45 - Fen Lisesi Matematik 12 | 5. Ünite

Türev ve Süreklilik ilişkisi

TEOREM
f: a,b " R bir fonksiyon ve xo d ^ a,bh olsun. f fonksiyonu x = xo
6
@
noktasında türevli ise aynı noktada süreklidir.

Başka bir ifadeyle y = ]g fonksiyonu x = a da sürekli değil ise fonk-
f x
siyonun bu noktada türevi yoktur.

Yukarıdaki teoremin tersi her zaman doğru değildir. Bir fonksiyon bir
noktada sürekli olup türevi olmayabilir.

ÖRNEK 6

]g
f x = x fonksiyonunun hangi noktada türevi yoktur?
ÇÖZÜM

x, x $ 0 ise
]g
f x = x = )
- x, x 1 0 ise
f fonksiyonu x = noktasında süreklidir.
0
Ancak y
+
f 0 h = 1 f(x)
l^

-
f 0 h =- 1
l^
+
l^
olduğundan f 0 h ! l^ - 0
f 0 h olur. Dolayısı ile fonksiyonun x = nokta-
]g
sında türevi yoktur. f x = x fonksiyonunun grafiğine x = noktasın- x
0
dan fonksiyona birden fazla teğet çizilebilir. Fonksiyon x = noktasın-
0
O
da kırılmaktadır. Fonksiyonların kırılma noktalarında türevi yoktur.
ÖRNEK 7
Aşağıda verilen grafiklerde x = a noktalarında fonksiyonların süreklili-
ğini ve türevlenebilirliğini araştırınız.
a) y c)

x
O a x O
fx a fx
()
()
b) y

x
O a fx
()

Türev
275