Page 50 - Fen Lisesi Matematik 12 | 5. Ünite

İki Fonksiyonun Bölümünün Türevi

TEOREM
f ve g, A 3 R üzerinde tanımlı, x6 ! A noktasında türevlenebilen
]g
fonksiyonlar ve g x ! ise f fonksiyonu da x6 ! A noktasında
0
g
l]
f x ] g l f x g x - l]g $ ] g g x f x ]g $ g
türevlidir ve < F = olur.
g x ] g 6 g x ] g@ 2
İspat

h -
c f ^ m x + h f x ] g
x =
c f ] m g lim g g
g h " 0 h
]
f x + hg f x ] g f x g x ]g $ g
]
g x + hg - g x ] g eklenip çıkarıldı.
]
= lim
h " 0 h
$ ]
h gx - ] g
]
f x + g $ ^ h f x g x + hg
= lim
$ ]
h gxh
h " 0 hg x + g $ ^
f x gx - ] g
]
f x + g $ ^ h f x gx + ] g $ ^ h f x g x + hg
$ ^ h
h gx - ] g
$ ]
= lim
$ ] g
$ ]
h " 0 hg x g x + hg
]
]
h - ]
= limd 1 ; f x + g f xg gx - ] g x + h - ]g g xg n E
f xg
^ h
] g
$ ]
h " 0 g x g x + hg h h
l ^ ] g
= 1 f x g x - ] g $ l] elde edilir.
f x g xgh
$ ] g
2
g ] xg
ÖRNEK 13
Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
3
x - 2x + 5
]g
a) f x = ç) m x = secx
]g
4
x - 1
]g
]g
b) g x = tanx d) n x = cosecx
c) h x = cotx
]g
ÇÖZÜM
4
3
3
1 $ ^
4
^ x - 2x + h l x - 1 - ^h x - h l x - 2x + h
5 $ ^
5
l] g
a) f x = 2
^ x - h
4
1
3
3
^ 3x - h x - h 4x ^ x - 2x + h
4
2
2 $ ^
1 -
5
=
4
^ x - h 2
1
3x - 3x - 2x + - 4x + 8x - 20x 3
6
4
2
6
4
2
=
4
^ x - h 2
1
3
- x + 6x - 20x - 3x + 2
4
2
6
=
4
^ x - h 2
1
Türev
280