Page 47 - Fen Lisesi Matematik 12 | 5. Ünite

ÖRNEK 9

2
ax +- 1,x 2 1 ise
x
]g
f x = *
bx + 3, x # 1 ise
fonksiyonu x d6 R için türevli ise a ve b değerlerini bulunuz.
ÇÖZÜM

f fonksiyonu türevli olabilmesi için öncelikle sürekli olmalıdır.
2
ax +- 1 ve bx + birer polinom fonksiyon olduğu için bu fonk-
3
x
siyonlar her noktada sürekli ve türevlidir. f fonksiyonu her noktada
sürekli olduğundan x = 1 noktasında da sürekli olmalıdır.
Buradan
]
^
lim ax +- h lim bx + g f 1g
3 = ]
2
1 =
x
x " 1 + x " 1 -
a +- 1 = b + 3
1
a = b + 3bulunur.
İkinci olarak f fonksiyonunun türevli olabilmesi için her noktada sağ-
dan türevinin soldan türevine eşit olması gerekir. Buradan x = 1 kritik
+
l^
noktası için f 1 h = l^ -
f 1 h olmalıdır.
]
+
l^
f 1 h = lim f x - ]g f 1g
x -
x " 1 + 1
ax +- - ] b + 3g
2
x
1
= lim b = a -
x " 1 + x - 1 3
2
ax +- -- 3
1
b
x
= lim x -
x " 1 + 1
ax +- - ] a - 3g
2
x
4
= lim
x " 1 + x - 1
a x - h x 1
1 +-
2
^
= lim x -
x " 1 + 1
] 1 a x + g
]
1 +
= lim x - g6 x - 1@
x " 1 + 1
= 2a + 1bulunur.
]
f x - ]g f 1g
-
l^
f 1 h = lim
x " 1 - x - 1
bx +- ] b + 3g
3
= lim
x " 1 - x - 1
bx +-- 3
3
b
= lim
x " 1 - x - 1
b x - 1g
]
= lim
x " 1 - x - 1
= bbulunur.
+
f 1 h = l^ - 1 = elde edilir.
f 1 h olduğundan 2a +
l^
b
Buradan a = b + olduğundan
3
]
2 b + g 1 = b
3 +
2b + 7 = b
b =- 7
a =- + 3
7
=- 4eldeedilir.
Türev
277