Page 49 - Fen Lisesi Matematik 12 | 5. Ünite

İki Fonksiyonun Çarpımının Türevi

TEOREM
fveg,A 3 R üzerinde tanımlı ve x6 ! A noktasında türevlenebi-
len fonksiyonlar ise fg$ fonksiyonu da x noktasında türevlenebilir ve
f x g x + ]g
g
] g
$ ]
$ l] g
6 f x g x l g@ = l] $ ] g f x g x olur.
İspat
] g
f x g x + hg
$ ]
$ h
^ fg x + h - ^g fg x ]h g eklenip çıkarıldı.
]
$
x =
^ fg$ h l] g lim
h " 0 h
f x g x ]g
f x + g $ ] h - ] $ g
h g x + g
]
= lim
h " 0 h
g
f x + g $ ] h - ] g $ ] h + ]g f x g x + g f x g x ] g
f x g x +
h g x + g
h - ] g
$ ]
]
$
= lim
h " 0 h
]
]
f x + h - ]g f xg g x + h - ]g g xg
g x +
= lim; $ ] h + ]g f x $ g E
h " 0 h h
g
]
= l] limg x + h + ]g f x g xg
$ l]
f x $ g
h " 0
= l] $ ] g f x g x bulunur. g x ]g türevlenebilir
f x g x + ]g
$ l] g
g
olduğundan süreklidir.
limg x + h = ]g g xg olur.
]
h " 0
ÖRNEK 11
Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
5
]g
2
x
1 $ c
a) g x = x $ e - sinx lnx$ b) f x = ^ x - 4x + h 3x - 4 m
] g
4
x
ÇÖZÜM
2 l
x l ^]
$ ]
a) g x = ^ x h e $ x + ^ x ^ h e h - sinx $ l g lnx + sinx lnx l g h
] g
2
x
2
= 2x e$ x + x $ e - cosxlnx$ - sinx $ 1 bulunur.
x
b) f x = ^ x - 4x + h l 3x - 5 4 + ^ x - 4x + h 3x - 5 l
m
1 $ c
4
4
] g
1 $ c
m
4
x x
5 3 - 5
4 3x -
3
= ^ 4x - h c 4 + ^ x - 4x + h + 20x n
1 $ d
m
4
x 2x
ÖRNEK 12
3 ... x -
,f x = ]g
2 $ ]
f:R " R ] x - 1 $ ]g x - g x - g $ $ ] 10g olduğuna göre
l]g
f 4 değeri kaçtır?
ÇÖZÜM
2 $ ]
4 ]
f x = ]g x - g6 x - 1 $ ]g x - g x - 3 $ ]g x - g $ $ ] 10g@ biçiminde
5 ... x -
]
yazılırsa
2 $ ]
5 ... x -
4 l ]
f x = ]g x - g 6 x - 1 $ ]g x - g x - 3 $ ]g x - g $ $ ] 10 +
l]
g@
2 $ ]
4 ]
5 ... x -
] x - g6 x - 1 $ ]g x - g x - 3 $ ]g x - g $ $ ] 10 l
g@
]
6 +
l] g
]
1 $ - g
olur. Buradan f 4 = 32 1$$ $ - g ] 2 ...$ $ - g 0 = 6 6! bulunur.$
Türev
279