Page 20 - Fen Lisesi Matematik 12 | 6. Ünite

Kısmî İntegrasyon Yöntemi

İki fonksiyonun çarpımının integraline ait kuralı bulabilmek için türevin
g x
f x
çarpım kurallarını uygulamak gerekir. u = ^h ve v = ^h türevlene-
^
bilir iki fonksiyon olsun. fx $ ^h gxh in türevi
d
fx $ l^h
^
6 fx $ ^h gxh@ = ^ gx + ^h gx $ l^h fxh olur.
dx
Elde edilen ifadenin her iki tarafının integrali alınırsa
# d 6 fx $ ^ h@ fx $ l^h gx dx + # gx $ l^h fx dx
gx dx = #
^
h
^
^ h
h
dx
^
fx $ ^h gx += # f x $ l^h g xdx + # g x $ l^h f xdx
h
^
^
h
h
c
# fx $ l^h gx dx = ] g $ ] g c - # gx $ l^h fx dx elde edilir.
h
^
^
h
f x g x +
f xdx ve v = ^
f xh
u = ^ & du = l^ h g xh & dv = l^ h
g xdx yazılırsa
# udv = uv - # v du şeklinde bulunur.
# udv = uv - # v du yöntemini kullanarak integral almaya
kısmî integrasyon yöntemi denir.
ÖRNEK 37
# xe dx integralini hesaplayınız.
x
ÇÖZÜM
İntegrali alınacak ifade bir polinom ile bir üstel fonksiyonun çarpımı ise
polinoma u, diğer kısma dv denir.
# xe dx integralinde
x
x
x = u & dx = du ve edx = dv
# edx = # dv & e = veldeedilir.
x
x
Bu değerler # udv = uv - # v du eşitliğinde yerine yazılırsa
# xe dx = xe - # edx = xe - e + elde edilir.
x
x
x
x
x
c
ÖRNEK 38
# lnxdx integralini hesaplayınız.
ÇÖZÜM

# lnxdx integralindelnx = u & 1 dx = du ve dx = dv &
v
x x = olur.
Bu değerler # udv = uv - # vdu eşitliğinde yerine yazılırsa
# lnxdx = lnx x$ - # x $ 1 dx = xlnx - # dx = xlnx - +
x x c bulunur.

SONUÇ
# lnxdx = xlnx - + c
x

İntegral
344