Page 21 - Fen Lisesi Matematik 12 | 6. Ünite

ÖRNEK 39

x # sin x dx2 integralini hesaplayınız.

ÇÖZÜM

İntegrali alınacak ifade bir polinom ile bir trigonometrik fonksiyonun
çarpımı ise polinoma u, diğer kısma dv denir. # x sin xdx2 integralinde

x = u & dx = du ve sin2xdx = dv
# sin2xdx = # dv

cos2x
- = velde edilir.
2
Bu değerler # udv = uv - # v du eşitliğinde yerine yazılırsa

# xsin2x dx = - xcos2x - # b - cos2x l dx
2 2
- xcos2x + # - xcos2x 1
1
= 2 2 cos2xdx = 2 + 4 sin2x + c olur.

ÖRNEK 40
x # lnx dx integralini hesaplayınız.

ÇÖZÜM

İntegrali alınacak ifade bir polinom ile bir logaritmik fonksiyonun çarpı-
mı ise logaritmalı ifadeye u, diğer kısma dv denir.
x # lnx dx integralinde lnx = u & 1 dx = du ve xdx = dv & x 2 = v
x 2
olur. Bu değerler # udv = uv - # v du eşitliğinde yerine yazılırsa

# xlnx dx = lnx $ x 2 - # x 2 $ 1 dx
2 2 x
1
x 2 lnx - # x 2 x 2
= $ xdx = lnx $ - + cbulunur.
2 2 2 4
ÖRNEK 41
x # 2 cos x dx3 integralini hesaplayınız.

ÇÖZÜM

Tablo yöntemi ile kısmî integrasyon yöntemini Türevi Alınacak İntegrali Alınacak
uygulamak kolaylık sağlar. # udv integralinde u
+ x cos3x
2
nun sonlu sayıda türevi alındığında sıfır buluna- 1
biliyor ve dv nin integrali sonlu sayıda alınabili- - 2x 3 sinx3
yorsa aşağıdaki biçimde bir tablo oluşturularak + 2 - 1 cosx3
9
integral kolay biçimde bulunabilir. 0 1
-
27 sinx3
x # 2 cos x dx3 integralinde

# xcos3x dx = x 2 1 sin3x - 2x - 1 cos3x + bl 2 - 1 sin3x + c
l
2
b
3 9 27
x 2 2 2x
= sin3xc - m + cos3x + c bulunur.
3 27 9
İntegral
345