Page 23 - Fen Lisesi Matematik 12 | 6. Ünite

Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi

^
Pxh
^ ]g
P(x) ve Q(x) birer polinom olsun. , Q x ! h biçimindeki
0
^
Qxh
^
^
6
rasyonel fonksiyonlar için derP xh@ 1 der Qxh@ olsun.
6
^
Pxh
= A1 + A2 + g + An olarak basit kesirlerin
^
Qxh ax + b1 ax + b2 ax + bn
n
2
1
toplamı şeklinde yazılarak yapılan işleme basit kesirlere ayırma yönte-
mi ile integral alma denir.
Burada polinom eşitliğinden AA2 g ,An değerleri bulunur ve
,
,
1
^
# Pxh dx = # A1 dx + # A2 dx + g + # An dx
^
Qxh ax + b 1 ax + b 2 ax + b n
2
1
n
integrali alınır.
^h
^
^
^h
Eğer derP xh@ $ der Qxh@ ise Px polinomu Qx polinomuna
6
6
Pxh Kxh
^
^
x
^h
^ h
bölünür. Bx bölüm, K^h kalan olmak üzere = Bx +
Qxh Qxh
^
^
^
^
şeklinde yazılarak # Pxh dx = # Bx dx + # Kxh dx integrali alınır.
^ h
Qxh Qxh
^
^
# K^ xh dx ifadesinde basit kesirlere ayırma yöntemi kullanılarak
Q x ] g
integral alınır.
ÖRNEK 43
# 2 dx integralini hesaplayınız.
x - 4
2
ÇÖZÜM
2 = A + B
^ x - 2 ^h x + 2h x - 2 x + 2 yazılır. Payda eşitlenerek
2 = Ax + 2 A + Bx - 2 B
^ x - 2 ^h x + 2h ^ x - 2 ^h x + 2h elde edilir.
B x +
2 = ^ A + h 2 A - 2 B eşitliğini x6 ! R için sağlayan A ve B gerçek
sayıları bulunur. Bu durumda
A + B = 0

2 A - 2 B = 2
1 1
denklemlerinden A = ve B =- bulunur.
2 2
Buradan bulunan değerler integralde yerine yazılırsa
1 1
# 2 dx = # f 2 - 2 p dx = 1 :# 1 dx - # 1 dxD
x - 4 x - 2 x + 2 2 x - 2 x + 2
2
1 1 x - 2
h
= ^ ln x - 2 - ln x + 2 += ln + c bulunur.
c
2 2 x + 2
İntegral
347