Page 18 - Matematik 12 | 5. Ünite

Parçalı Tanımlı Fonksiyonların Limiti

Z g x ] g , x 1 a ise
]
]
]
]
f x = [ c , x = a ise
] g
]
]
]
]
\ h x ] g , x 2 a ise
biçiminde tanımlı fonksiyonlar için
{ x = noktası dışında bir noktanın limiti araştırılırken o nokta fonksiyonun hangi parça-
a
sına dahilse o parçada limit araştırılır.
m 1 a ise lim f x = olur .
] g
lim g]
xg

m
m
x "
x "
n 2 a ise lim f] g lim h xg olur .
x =
]
x " n x " n
a
a
{ x = noktasında fonksiyonun kuralı değiştiğinden x = noktası kritik noktadır. Bu
noktadaki limiti araştırılırken sağdan ve soldan limitleri incelenmelidir.

lim f x = lim g x = , 1 ve lim f x = lim h x = , 2 olsun .
] g
] g
] g
] g
x " a - x " a - x " a + x " a +
, = , = , & lim f x = , olur .
] g
2
1
a
x "
lim f x limiti
, ! , 2 & x " a ] g yoktur .
1
ÖRNEK
2 x - 3 , x # 2 ise
f x = ) 2
] g
x + 1 , x 2 2 ise
3
biçiminde tanımlanan f x ]g fonksiyonunun x = 1 , x = 2 ve x = noktalarındaki var olan limit-
lerini bulunuz.
ÇÖZÜM
3
Burada x = 1 vex = noktaları kritik nokta olmadığından fonksiyonun bu noktalardaki limiti bu
noktalardaki görüntüsüne eşittir.
lim f x = ]g f 1g lim f x = ]
]
] g
f 3g
x " 1 x " 3 2
= 21$ - 3 = 3 + 1
=- 1 = 10
2
x = noktası fonksiyonun kritik noktası olduğundan sağdan ve soldan limitleri incelenmelidir.
x
lim f x = lim 2 - 3g (Burada x, 2 ye soldan yaklaştığı için 2 den küçük
]
] g
3
x " 2 - x " 2 - değerler alır. Bu nedenle f x = 2 x - olarak seçilir.)
]g
= 22$ - 3
= 1
2
1
lim f x = lim _ x + i (Burada x, 2 ye sağdan yaklaştığı için 2 den büyük
] g
2
x " 2 + x " 2 + değerler alır. Bu nedenle f x = x + 1 olarak seçilir.)
]g
2
= 2 + 1
= 5
lim f x ! lim f x ] g olduğundan limf x ]g limiti yoktur.
] g
x " 2 - x " 2 + x " 2
Türev
196