Page 65 - Matematik 12 | 5. Ünite

5.2.4. İki Fonksiyonun Bileşkesinin Türevi

f ve g türevlenebilir iki fonksiyon olmak üzere y = ^ fo gx ] h g bileşke fonksiyonu için
f g xgh olur.
] h g
y = ^ fo gx & y = ^ ]
g x
g x ve y = ] g
Bu ifadede u = ]g dönüşümü yapılırsa u = ] g f u olur .
b
dy _
b
y = ] & du = l] b
f ug
f ug
b
b
b
du ` ifadeleri taraf tarafa çarpılırsa
b
g xg
u = ] & = l] b
b
g xg
# dx b
dy du a dy
$
f u $ l] g
f g x $ l]
du dx = l] g g x & dx = l^ ] gh g xg olur .
14444 24444 3 ;
dy f g x ] gh
l^
dx
l
O hâlde y = ^ fo gx ] h g bileşke fonksiyonunun türevi y = l^ ] gh g xg olarak elde edilir.
f g x $ l]
dy dy du
$
dx = du dx ifadesine ise zincir kuralı denir.
ÖRNEK
3
f x = 5 x 2 veg x = x + 1 fonksiyonları veriliyor. Buna göre fo gx ] h g fonksiyonunun
] g
^
] g
türevini bulunuz.
ÇÖZÜM
1. Yol: 2. Yol:
2
^ fo gx = ^ ] f x = 5 x & l] g 10 x
f x =
f g xgh
] h g
] g
3
3
= f_ x + 1i g x = x + 1 & l] g 3 x 2
g x =
] g
3 2
= 5 $ _ x + 1i
f g x $ l]
g
6 3 ^ fo g l] h x = l^ ] gh g xg
= 5_ x + 2 x + 1i = fl_ x + i x 2
3
1 3$
3
6
3
= 5 x + 10 x + 5 olur . = 10_ x + i x 2
1 3$
5
g
^ fo g l] h x = 30 x + 30 x 2 bulunur . 5 2
= 30 x + 30 x bulunur .
3. Yol:
f g xgh ifadesinde g x = dönüşümü yapılırsa y = ]g olur.
] h g
^ fo gx = ^ ] ]g u f u
2
u
5
f u &
dy ve du değerleri zincir kuralında yerlerine yazılırsa
y =
y = ] g
dx
du
dy
& du = 10 u
3 dy = dy du & dy = 10 u 3$ x 2
$
g x &
u = ] g u = x + 1 dx du dx dx
du 2 3 2
1 3$
& dx = 3 x olur . = 10_ x + i x
5
2
= 30 x + 30 x bulunur .
1. yolda iki fonksiyonun bileşkesi bulunduktan sonra türevi alındı.
2. yolda bileşke fonksiyonun türevinin kuralı kullanıldı.
3. yolda zincir kuralı kullanıldı.
Matematik 12
243