Page 161 - Matematik

Matematik 12

Parçalı Tanımlı Fonksiyonların Limiti

Z g x ] g , x 1 a ise
]
]
]
]
f x = [ c , x = a ise
] g
]
]
]
]
\ h x ] g , x 2 a ise
biçiminde tanımlı fonksiyonlar için
{ x = apsisli noktası dışında bir noktanın limiti araştırılırken o nokta fonksiyonun hangi
a
parçasına aitse o parçada limit araştırılır.
m 1 a ise lim f x = lim g] xg olur .
] g
x " m x " m
n 2 a ise lim f] g lim h xg olur .
x =
]
x " n x " n
{ x = apsisli noktasında fonksiyonun kuralı değiştiğinden bu nokta kritik noktadır.
a
Bu noktadaki limiti araştırılırken sağdan ve soldan limitleri incelenmelidir.
lim f x = lim g x = , 1 ve lim f x = lim h x = , 2 olsun .
] g
] g
] g
] g
x " a - x " a - x " a + x " a +
, = , = , & lim f x = , olur .
] g
1
2
a
x "
, ! , 2 & lim f xg yoktur .
]
1
a
x "
ÖRNEK
2 x - 3 , x # 2 ise
] g
f x = ) 2
x + 1 , x 2 2 ise
] g
olduğuna göre lim f x ] g , lim f x ve lim f x ] g değerlerini bulunuz.
x " 1 x " 2 x " 3
ÇÖZÜM
3
Burada x = 1 vex = apsisli noktaları kritik nokta olmadığından fonksiyonun bu noktalardaki
limiti bu noktalardaki görüntüsüne eşittir.
: lim f x = ]g f 1 = 21$ =- 1 bulunur . : limf x = ] g 3 + 1 = 10 bulunur .
2
f 3 =
]
g
] g
x " 1 x " 3
x = apsisli noktası fonksiyonun kritik noktası olduğundan sağdan ve soldan limitleri
2
incelenmelidir.
x
3 =
lim f x = lim 2 - g 22$ - 3 = 1 (Burada x, 2 ye soldan yaklaştığı için 2 den küçük
]
] g
x " 2 - x " 2 -
3
değerler alır. Bu nedenle f x = 2 x - olarak seçilir.)
]g
2 2
5
lim f x = lim _ x + i 2 + 1 = (Burada x, 2 ye sağdan yaklaştığı için 2 den büyük
1 =
] g
x " 2 + x " 2 +
2
değerler alır. Bu nedenle f x = x + 1 olarak seçilir.)
]g
lim f x ! lim f x ] g olduğundan limf x ] g yoktur.
] g
x " 2 - x " 2 + x " 2
161