Page 162 - Matematik

12 Matematik

ÖRNEK

Z ] ] ] x + 1 , x 1 2 ise
2
f x = [ ] ] ] ] ] 1 , x = 2 ise
] g
\ ] ] 2 x - n , x 2 2 ise
biçiminde tanımlı f x ]g fonksiyonu veriliyor. limf x ] g mevcut olduğuna göre limf x ] g değerini
bulunuz. x " 2 x " 3

ÇÖZÜM

Fonksiyonun x = apsisli kritik noktasında limiti olduğundan bu noktadaki sağdan ve soldan
2
limitleri birbirine eşit olmalıdır.
2
x
lim f x = lim f x ] g & lim _ x + i lim 2 - ng
1 =
]
] g
x " 2 - x " 2 + x " 2 - x " 2 +
2
& 2 + 1 = 22$ - n & 5 = 4 - n & n =- 1 olur .
x
n =- 1 & lim f x = lim 2 -- 1hh = 23$ + 1 = 7 bulunur .
^
] g
^
x " 3 x " 3
Limitte Belirsizlik Durumu
Gerçek sayılarda tanımlı ve çarpanlarına ayrılabilen f x ve g x ]g g fonksiyonları için
]
0
lim f x = 0 ve lim g x = olması durumunda lim f x ] g limitinde 0 belirsizliği ortaya
] g
] g
x " a x " a x " a g x ] g 0
çıkar.
a
0
Burada x = için f a = 0 ve g a = olduğundan her iki fonksiyonun da x - ag biçimin-
]
] g
] g
de çarpanı vardır.
Belirsizlik durumunda pay ve payda çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki x - ag çar-
]
panları sadeleştirilerek belirsizlik giderilir ve limit bulunur.

ÖRNEK
2
x - 1
1 "
: f R - !+ R , f x = fonksiyonu veriliyor. Buna göre limf x ]g ifadesinin değerini bu-
]g
x - 1 x " 1
lunuz ve f x ]g fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM

2
lim f x = lim x - 1 = 0 belirsizliği vardır.
]g
x " 1 x " 1 x - 1 0
2 1 ^ x + 1g
1 $ ]
lim x - = lim x - h = lim x + g 1 + 1 = 2 bulunur .
1 =
]
x " 1 x - 1 x " 1 x - 1 x " 1
162