Page 178 - Matematik

12 Matematik

Anlık Değişim Oranı ve Türev

x konum Yanda doğrusal olarak hareket eden bir hareket-
liye ait konum-zaman grafiği gösterilmiştir. Bu ha-
reketlinin t . vet saniyeleri arasındaki ortalama
.
x t ] g 0
hızının
x t
xt ^ h D x x t - ^ h
] g
V = = 0
4 D x ort D t t - t 0
xt ^ h 8 olduğu bilinmektedir.
0
t D
t zaman
t 0 t
Bu hareketlinin t anındaki anlık hızı bulunmak istenirse t nin t a yaklaşırken fonksiyo-
0
0
nun değişim oranı hesaplanmalıdır. Bu oran
x t
] g
lim x t - ^ h
0
t " t 0 t - t 0
limiti ile hesaplanır. Bu limit değeri hareketlinin t anındaki anlık hızı olup bu değer fonk-
0
siyonun t anındaki anlık değişim oranıdır. Bir fonksiyonun t anındaki anlık değişim
0
0
oranına ise fonksiyonun t noktasındaki türevi denir ve x t l^h ile gösterilir.
0
0
x t
x t - ^ h
] g
0
O hâlde x t l^ h = lim t - t olur.
0
t " t 0 0
x konum
xt ^ h
xt ^ h

d

x t ^ h
0

t zaman
t 0 t

x t ]g fonksiyonunun t 0 . vet . zamanlar arasındaki değişim oranının t _ 0 ,x t _ii ve ,tx t ] gh
^
0
noktalarından geçen doğrunun eğimi olduğu belirtilmişti.
x t
] g
x t - _ i
0
Yukarıdaki grafik incelendiğinde t , t a yaklaşırken lim limitinin değerinin eğ-
0
t " t 0 t - t 0
rinin t noktasındaki teğeti olan d doğrusunun eğimine eşit olduğu görülür. O hâlde bir fonk-
0
siyonun herhangi bir noktasındaki türevi, fonksiyonun o noktadaki teğetinin eğimine eşittir.

178