Page 188 - Matematik

12 Matematik

5.2.2. Bir Fonksiyonun Bir Noktada ve Bir Aralıkta Türevlenebilirliği

A 3 R ,:f A " R vea ! Ai in fs rekliolmak zereç ü ü

f fonksiyonunun x = a apsisli noktasındaki sağdan ve soldan türevleri birbirine eşit ise f
fonksiyonu x = a apsisli noktasında türevlenebilirdir.

+
-
{ fl^ a h = fl^ a h = k & f a = k olur .
l] g
{ Bir f fonksiyonu abh ndaki her noktada türevlenebilir ise bu fonksiyon abh nda
,
,
^
^
türevlenebilirdir.
f xg fonksiyonunun
Yanda verilen y = ]
y grafiği incelenirse a ya soldan yaklaşır-
k
ken eğriye çizilen teğetin d doğrusu ve
d a ya sağdan yaklaşırken çizilen teğetin k
f xh
y = ^ doğrusu olduğu görülür.
Bu durumda d doğrusunun eğimi m ve
d
k doğrusunun eğimi m olarak ifade edi-
k
- +
lirse fl _ a i = m ve fl _ a i = m olur.
d
k
x
a
Burada m ! m olduğundan fonksiyonun a noktasındaki sağdan ve soldan türevleri farklıdır.
k
d
O hâlde f fonksiyonunun x = apsisli noktasında türevi yoktur.
a
f fonksiyonunun, x = apsisli noktasında sürekli olmasına rağmen bu noktada türevi yoktur.
a
Bu tür noktalara fonksiyonun kırılma noktası denir.
Uyarı
Yanda verilen R - " a, kümesinde tanımlı f x ]g fonk-
y siyonun grafiği incelendiğinde tanımlı olduğu aralık-
f xh
y = ^
taki
Y b ve c apsisli noktalarda süreksizdir. Bir fonksi-
yonun bir noktadaki türevi fonksiyonun grafiğine
o noktasında çizilen teğetinin eğimine eşit oldu-
x
a b c d ğundan fonksiyonun b ve c noktalarında türevi
yoktur.

Y d apsisli noktası fonksiyonun kırılma noktası
olduğundan fonksiyonun bu noktada da türevi
yoktur.

188