Page 22 - Fen Lisesi Matematik 10 | 1.Ünite

SAYMA VE OLASILIK

5. Kombinasyon

A = " a ,, ,bc d, kümesi verilmiş olsun. A kümesinin üç elemanlı farklı dizilişleri ve alt kümeleri Tablo 1.1.1’ de
aşağıda verilmiştir.
Tablo 1.1.1
Üç Elemanlı Farklı Dizilişler Üç Elemanlı Alt Kümeler
abc - acb - bac - bca - cba - cab " ab
,,c,
bcd - bdc - cdb - cbd - dbc - dcb " bc
,,d,
acd - adc - cad - cda - dac - dca " ac
,,d,
abd - adb - bda - bad - dab - dba " ab
,,d,

Tablonun sağ sütunundaki her bir alt kümenin elemanları kullanılarak sol sütundaki farklı dizilişler elde
edilmiştir. Her alt kümenin farklı dizilişlerinin sayısı !3 kadardır. Bu durumda dört alt kümenin farklı dizilişlerinin
sayısı 43$ ! tane olur. Bu sonuç, A kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilecek üç elemanlı farklı dizilişlerin
sayısına eşittir.
Buradan 43$ ! = P^ , 43h eşitliği elde edilir.
Sonuç olarak;
n
, nr ! N , r # olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı X olsun. Her bir alt
! r
kümenin !r tane farklı dizilişi vardır. Tüm alt kümelerin farklı dizilişlerinin sayısı X $ tane olur. Bu sonuç, n
elemanlı kümenin r li dizilişlerinin sayısına eşit olduğundan
X ! r $ = P^ , nrh dir. Buradan X = Pn ^ ! r ,rh elde edilir. Pn h n - ! n ! olduğundan
,r =
^
! n ^ rh
^ n - rh ! ! n
X = ! r = ^ n - rh !!r $ bulunur.
Bu ifade, n elemanlı kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısıdır.

n elemanlı kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısına n nin r li kombinasyonu denir.
n
Tanım Cn ^ ,rh veya cm şeklinde gösterilir.
r
n ! n
,
r
,r = c m
Cn h = nr ! N ,0 # # nh olur.
^
^
r ^ n - rh !! r $
! 6 65$$ ! 4 30
C6 ^ ,4 = = ! 24 $ ! = 2 = 15
h
^ 6 - 4h ! 4 $ !
7 ! 7 7654 $ !
$
$
d n = = = 35
3 ^ 7 - 3h ! 3 $ ! ! 4 $ ! 3
1. ÖRNEK
A = " 1 ,, ,23 4, kümesinin iki elemanlı alt kümelerinin sayısını (2 li kombinasyonlarını) bulunuz.

ÇÖZÜM
, 34, şeklinde olup 6 tanedir.
, ,
A kümesinin iki elemanlı alt kümeleri 12 " , , , 14 " , , , 24 " ,
, ,
"
, 13 "
, 23 "
, ,
! 4 43$$ ! 2
A kümesinin 2 li kombinasyonlarının sayısı C4 2 = = = 6 olur.
^
, h
^ 4 - 2h ! 2 $ ! ! 22 $ !
Fen Lisesi Matematik 10 33