Page 42 - Fen Lisesi Matematik 10 | 2.Ünite

FONKSİYONLAR

3. Bir Fonksiyonun Tersi

f g h
A B A C A D

a
1 a 1 1
2 b 2 b 2 d
c
3 c 3 d 3 e

p r s

Şekil 2.2.2
f :A " B, :Ag " C ve h :A " D fonksiyonlarındaki tanım ve değer kümeleri yer değiştirdiğinde oluşan yeni
bağıntılar :Bp " A , :Cr " A ve s :D " A olur. Bu durumda p bağıntısı, fonksiyon olma koşullarını sağlar.
g :A " C fonksiyonu bire birdir fakat örten değildir. :Cr " A bağıntısında a elemanı herhangi bir elemanla
eşleşmediğinden fonksiyon değildir.
h :A " D fonksiyonu örtendir fakat bire bir değildir. :Ds " A bağıntısında d elemanı iki elemanla
eşleştiğinden fonksiyon değildir (Şekil 2.2.2).
Sonuç
f :A " B bire bir ve örten ise :p B " A bir fonksiyon olur.

f :A " B fonksiyonu bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere her x ! A ve y ! B için
y
x =
Tanım ^ gfo ] h g xve fgo ^h y = eşitliklerini sağlayan :Bg " A fonksiyonuna
h
^
f nin ters fonksiyonu denir, g = f - 1 şeklinde gösterilir (Şekil 2.2.3).
f
A B
f :A " Bise f - 1 :B " A
x " y y " x
Başka bir ifadeyle x y
f
x ise x =
y = ] g f - 1 y ^ h olur.
^ , xy ! f ise^ , yx ! f - 1 olur.
h
h
f - 1
Şekil 2.2.3

1. ÖRNEK
,, ,68, olmak üzere :Af
, 78i. fonksiyonu veriliyor.
, i
, 34 _
A = " 1357 ,B = " 24 " B f = _ $ , 12 _ , i , 56 _ ,
i
,, , ,
f fonksiyonunun tersi varsa bulunuz.
ÇÖZÜM
Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için bire bir ve örten olması gerekir. A f B
f fonksiyonunun Venn şeması ile gösterimi yanda verilmiştir. Buna göre
f fonksiyonun tanım kümesindeki bütün elemanlar değer kümesinde
bulunan farklı elemanlarla eşleştiğinden bu fonksiyon bire birdir. Değer 1 2
kümesinde eşleşmeyen eleman olmadığından bu fonksiyon örtendir. O 3 4
hâlde f fonksiyonunun tersi vardır. 5 6

h
h
^ , xy ! f ise^ , yx ! f - 1 olduğunda 7 8
f - 1 = ^ " , 21 ^ , h , 65 ^ ,
, 87h, bulunur.
h
, 43 ^
, h
110 Fen Lisesi Matematik 10