Page 45 - Fen Lisesi Matematik 10 | 2.Ünite

FONKSİYONLAR

6. ÖRNEK
d a ax + b
: f R - - c 0 $ R - & c 0 , f ] g cx + d fonksiyonunun tersini araştırınız.
x =
&
ÇÖZÜM
Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için bire bir ve örten olması gerekir.

Bire Birlik
6 xx2 ! R ,x1 ! x iken f ^ x1 ! ^h f x2h oluyorsa f bire birdir.
, 1
2
ax1 + b ax2 + b
$
$
x1 =
x2 =
f ^ h ve f ^ h olduğundan f ^ x1 ! ^h f x2h dir. f bire birdir.
c $ x1 + d c $ x2 + d
Örtenlik
y6 ! R ç i in x7 ! R varsa f örtendir.
ax + b
y = ifadesinde x yalnız bırakılırsa
x c + d
& $ ] d = ax + b
y cx + g
& cyx + dy = ax + b
& cyx - ax =- dy + b
x cy - h
& $ ^ a =- dy + b
- dy + b a
& x = ! R - $ . vardır. f örtendir.
cy - a c
Fonksiyon bire bir ve örten olduğundan tersi vardır. Buna göre
f
x ise x =
y = ] g f - 1 y ^ h olduğundan
- dy + b
& x = f - 1 ^ h cy - a dır. Değişken x olarak değiştirilirse
y =
f - 1 ] g - dx + b sonucuna ulaşılır.
x =
cx - a
Sonuç
d a ax + b
x =
: f R - - c 0 $ R - & c 0 olmak üzere f ] g cx + d fonksiyonunun tersi
&
f - 1 ] g - dx + b olur.
x =
a
cx -
7. ÖRNEK

3
1
x =
!
: f R - - + $ R - - +, f ]g ax - b 2 olduğuna göre f ] a - bg değerini bulunuz.
!
x -
ÇÖZÜM
1
1
x =- için fonksiyonunun paydası 0 olacağından 1 b = 0 & b =- olur.
--
Aynı şekilde x =- için fonksiyonunun tersinde payda 0 olur.
3
ax - 2 bx - 2
x =
x =
Bu durumda f ]g x - b fonksiyonunun tersi f - 1 ] g x - a olduğundan
3
3
&-- a = 0 & a =- tür. O hâlde
- x 3 - 2
b
x =
f ]g x + 1 fonksiyonunda x yerine a - yazılırsa
2 -
]
3
f ] a - g f -- - 1g@ = ] 2 = - 3 $ - g 1 2
]
f - g
b = 6
2
-+
6 - 2
=
- 1
4
= - 1
=- 4 sonucu elde edilir.
Fen Lisesi Matematik 10 113