Page 9 - Fen Lisesi Matematik 10 | 2.Ünite

FONKSİYONLAR

15. ÖRNEK
x =+ fonksiyonunun örten olup olmadığını inceleyiniz.
: f Z " , Z f ] g x 1
f
ÇÖZÜM
Z Z
Verilen fonksiyonda f Z = Z olduğu gösterilmelidir. h
^ h
................................. h 2-
2
2 =- +=-
]
x =- için f - g 2 1 1 2- 1-
1
1 =- +=
]
x =- için f - g 1 1 0 1- 0
x = için f 0 =+= 0 1
0
0
1
1
] g
1
1
1
x = için f 1 =+= 2 1 2
] g
......................................... h h
Bu durumda fonksiyonun görüntü kümesi Örten fonksiyon
, 1
-
^ h
f Z = " ..., 2 - , ,, ,...01 2 , bulunur.
Fonksiyonun değer kümesi, görüntü kümesine eşit olduğundan f fonksiyonu örtendir.
16. ÖRNEK
1
x =
: f Z " , Z f ] g x 2 + fonksiyonunun örten veya içine olup olmadığını inceleyiniz.
ÇÖZÜM
1
6 x ! Z için x2 + daima tek sayıdır. Bu durumda değer kümesindeki çift sayılar açıkta kalır.
Dolayısıyla f örten fonksiyon değil içine fonksiyondur.
B
f : A " fonksiyonu verilsin. Tanım kümesindeki elemanların her biri, değer kümesinde bu-
lunan farklı bir eleman ile eşleşiyorsa f fonksiyonuna bire bir fonksiyon denir. Buna göre
Tanım
a) Her ,xx2 ! A için x1 ! x2 iken f ] x1 ! ]g f x2g veya
1
b) Her ,xx2 ! A için f ] x1 = ]g f x2g iken x1 = x2 oluyorsa f fonksiyonu bire bir
1
fonksiyondur.
17. ÖRNEK
x =
: f R " , R f ^ h x 4 + 3 fonksiyonunun bire bir olup olmadığını inceleyiniz.
ÇÖZÜM

Her ,xx2 ! A için x1 ! x2 iken f ] x1 ! ]g f x2g olduğu gösterilmelidir.
1
3
Her xx2 ! R için x1 ! x2 ise her iki taraf da 4 ile çarpılır ve her iki tarafa 3 eklenirse x4 1 + 3 ! x 4 2 +
, 1
eşitsizliği elde edilir. Buradan f ] x1 ! ]g f x2g olur. Tanım kümesindeki farklı elemanlar, değer kümesinde
bulunan farklı elemanlarla eşleşmiş olur. Bu durumda f fonksiyonu bire bir fonksiyondur.

18. ÖRNEK
2
x =
: f R " R , f ] g x fonksiyonunun bire bir olup olmadığını inceleyiniz.
ÇÖZÜM

Her ,xx2 ! R için f ] x1 = ]g f x2g iken x1 = x2 olduğu gösterilmelidir.
1
2
]
f ] x1 = ]g f x2g ise x1 = ]g 2 x2g dir. İki tarafın da karekökü alınırsa x1 = x2 elde edilir. Bu eşitlikten
x1 = x2 veya x1 =- x2 olur. Buradan daima x1 = x2 eşitliğinin sağlanmadığı görülür. O hâlde f fonksiyonu
bire bir fonksiyon değildir.

Fen Lisesi Matematik 10 77