Page 35 - Fen Lisesi Matematik 11 | 1.Ünite

TRİGONOMETRİ

2. Kosinüs Teoremi

Bu teorem ile bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar
arasındaki açı veya bu açının kosinüsü verildiğinde diğer kenar
uzunluğunu bulmayı öğreneceksiniz.
&
ABC nin kenar uzunlukları a, b, c ve bu kenarları gören açılar ,AB
W U
ve C olmak üzere a
V
2
2
2
a = b + c - 2 bc $ cos A bağıntısı yazılabilir (Şekil 1.2.10).
W
Şekil 1.2.10
İspat
?
5 AB = 5 C H? olacak şekilde AB kenarına ait
yükseklik CH? olsun.
5
& x = b $ cos A U
Şekil 1.2.11’deki AHC dik üçgeninde
A H HC H
W
W
cos A = b ve sinA = b olduğundan
AH = b $ cos A ve HC = b $ sin A yazılabilir. c - x
W
X
& a
BHC dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanırsa
2
2
BC = BH + HC 2 Şekil 1.2.11
2 W 2 W 2
h
a = ^ c - b $ cos A + ^ b $ sin A h
2
2
2
2
2
2
W
W
a = c - 2 bc $ cos A + b $ cos A + b $ sin A
W
2
2
2
2
2
W
W
W
a = b $ ^ sin A + cos A + c - 2 c b $ cos A
h
144444444 244444444 3
1
2
2
2
W
a = b + c - 2 c b $ cos A eldeedilir .
Herhangi bir üçgende bir kenar uzunluğunun karesi, diğer iki kenar uzunluğunun kareleri toplamından bu
kenar uzunlukları ile bu iki kenar arasındaki açının kosinüs değerinin çarpımının iki katının çıkarılmasıyla
elde edilir.
1. ÖRNEK
Şekildeki ABC üçgeninde
2 $ AB = BC = 6 cm ve
AC = 5 cm olduğuna göre
cosA değerini bulunuz.
W
ÇÖZÜM
ABC üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa
2
2
2
a = b + c - 2 bc $ cos A
W
2
2
2
6 = 5 + 3 - 253$$ $ cos A
W
9
W
36 = 25 + - 30 $ cos A & 36 - 34 =- 30 $ cos A
W
W
2 =- 30 $ cos A
2 1
cos A =- 30 =- 15 bulunur .
W
Fen Lisesi Matematik 11 45