Page 14 - Fen Lisesi Matematik 11 | 2.Ünite

ANALİTİK GEOMETRİ

Bir Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları

^
^
^
Analitik düzlemde köşelerinin koordinatları A xy1h ,B xy 2h ve C xy 3h olan ABC üçgeninin ağırlık
, 3
, 1
, 2
merkezinin koordinatları
x 1 + x 2 + x 3 , y 1 + y 2 + y 3
h
G^ , xy = Gb 3 3 l olur.
İspat K noktası, BC kenarının orta noktası olarak
alınırsa
^
x 2 + x 3 , y 2 + y 3 Ax 1 ,y 1 h
Kb 2 2 l olur.
6
Üçgende ağırlık merkezi olan G noktası, AK@ 2m
kenarortayını Gx ^ ,yh
AG 2 m m
2
GK = m = k = oranında içten böler K
^
^
Bx 2 ,y2h Cx 3 ,y 3 h
(Şekil 2.1.1).
x 2 + x 3 y 2 + y 3 Şekil 2.1.1
^
A xy 1h ve K = b 2 , 2 l olmak
, 1
,
üzere G xyh noktası AK@ nı k = oranında
2
^
6
içten böldüğünden koordinatları
x2 + x 3
x1 + 2 $ 2
x = 1 + 2 = x1 + x2 + x 3 ve
3
y2 + y 3
y1 + 2 $ 2 y1 + y2 +
y = = y 3 olarak bulunur.
1 + 2 3
Bu durumda ABC üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatları
x 1 + x 2 + x 3 y 1 + y 2 + y 3
Gb 3 , 3 l olur.

7. ÖRNEK
,
,
Analitik düzlemde köşelerinin koordinatları A - , 13h , B 4 - 2h , C 3 - 4h olan ABC üçgeni veriliyor.
^
^
^
ABC üçgeninin ağırlık merkezinin A köşesine olan uzaklığının kaç birim olduğunu bulunuz.
ÇÖZÜM
,
,
A - , 13h , B 4 - 2h , C 3 - 4h noktaları için ABC üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatları G xy 0h
, 0
^
^
^
^
olmak üzere
1
-+ 4 + 3 6
x 0 = 3 = 3 = 2 ve
2 + -
]
3 + - g ] 4g - 3
,
y 0 = 3 = 3 =- 1 olduğundan G 2 - 1h olarak bulunur. Buna göre G ağırlık
^
merkezinin üçgenin A köşesine uzaklığı
AG = ] x0 - x1g 2 + ^ y0 - y1h 2
1
]
= ^ 2 - - 1gh 2 + -- 3g 2
]
= 9 + 16 = 25
= 5 birimdir .
88 Fen Lisesi Matematik 11