Page 33 - Fen Lisesi Matematik 9 | Kümeler

KÜMELER

Kartezyen Çarpım

Boş kümeden farklı A ve B kümeleri verilsin. Birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesin-
den alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesine A ve B kümelerinin kartezyen çarpım kümesi veya
A kartezyen çarpım B denir.
x
B
A # ortak özellik yöntemiyle A # B = ^ " , xy ;! A ve y ! B, şeklinde yazılabilir.
h
2
ü
A = B durumunda A # A eldeedilir vebukme A şeklinde gösterilir.
3. ÖRNEK
A
A
A = " 12 , B = " , ab, kümeleri verilsin. A # , B B # A ve # kümelerini liste yöntemiyle yazınız.
,,3,
ÇÖZÜM
A # B = ^ " 1 , , , , , , , , , , ,b1 ^ b ^ 2 h 2 h 3 h 3 h,
ah
b ^
a ^
h
a ^
B # A = ^ " a 1 ^ b 1 ^ a 2 ^ b 2 ^ a 3 ^
h
h
h
h
, , , , , , , , , , , b 3h,
h
A # A = ^ " 11 ^ h 13 ^ 21 ^ 22 ^ 23 ^ 31 ^ 32 ^ 33h,
, , , , , , , , , , , , , , , , ,12 ^
h
h
h
h
h
h
h
4. ÖRNEK
M # N = ^ " 01 ^ 13 ^ 35 ^ 03 ^ 05 ^ 15 ^ 31 ^ 33 ^ , 11h,
, , , , , , -
, , , , , , , , -
, , -
h
h
h
h
h
h
h
h
N # = ^ " 10 ^ h 30h, kümeleri veriliyor.
P
, , , , ,50 ^
h
Buna göre N , ] M + Pgkümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
N
M # deki sıralı ikililerin birinci bileşenlerinin kümesi M yi, ikinci bileşenlerinin kümesi N yi verir. Benzer
P
biçimde N # deki sıralı ikililerin ikinci bileşenlerinin kümesi P yi verir. Buna göre
M = " , 0 - , 1 3,
,,
N = " 135,
P = ! 0+ kümeleri bulunur.
P
Buradan M + = " 0, ve N ,^ M + h 0 ,, ,13 5, eldeedilir .
P = "
Kartezyen Çarpımın Özellikleri
, 2
,,,...,ak, , B = "
2
1. A = " aaa3 bbb3 ,...,bn, kümeleri verilsin. Bu kümelerin kartezyen çarpımı
1
, 1
aşağıdaki tabloda görülmektedir.
Tablo 9.2.6
B
b 1 b 2 b 3 ... b n
a 1 ...
^ ab 1h ^ ab 2h ^ ab 3h ^ ab nh
, 1
, 1
, 1
, 1
a 2 ...
^ ab 1h ^ ab 2h ^ ab 3h ^ ab nh
, 2
, 2
, 2
, 2
� a 3 ^ ab 1h ^ ab 2h ^ ab 3h ... ^ ab nh
, 3
, 3
, 3
, 3
... ... ... ... ...
a k ...
^ ab 1h ^ ab 2h ^ ab 3h ^ ab nh
, k
, k
, k
, k
Tablodaki tüm ikililer, kartezyen çarpım kümesinin elemanlarıdır.
A # B = ^ " ab1 ^ , 1 h , ab3h ,..., abnh,
h
^
, ab2 ^
, 1
, k
, 1
O hâlde kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı s A # g s A s B = kn$ olarak bulunur.
$ ] g
B = ] g
]
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için s A # g s B # g s A s B ] g olur.
$
A = ] g
B = ]
]
Fen Lisesi Matematik 9 | 73