Page 408 - Dört Dörtlük - AYT - Matematik

MATEMATİK Anlık Değişim Oranı ve Türev ÇÖZÜMLÜ SORULAR

  x + 5 8, x 1 f(x) f(a)−
≥
6. f(x) =  8. f(x) = x§x olduğuna göre lim ifadesinin eşiti aşa-
<
5x 4, x 1 x→ a 6x 6a−
+  
ğıdakilerden hangisidir?
şeklinde tanımlanan f fonksiyonunun x = 1 apsisli nokta-
a a
aa
a
sındaki türevi kaçtır? A) a B) 2 aa a 3 a 2 a aa a 3 a
3 a a C)

2 a
a 2 aa 2 a a 4 2 aa 2 a 4 2 2 4

2 a

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 2 a D) 3 a E) 3 a
2 2 4 2 2 4

Çözüm: Çözüm:
−
−
x = 1 apsisli nokta f parçalı fonksiyonun kritik noktası oldu- f(x) f(a) 1 f(x) f(a) 1
′ ⋅
lim = ⋅ lim = f (a) dır.
olur.
−
−
ğundan fonksiyonun bu noktada türevli olabilmesi için sürekli x→ a 6x6a 6 x→ a xa 6
olması gerekir.
Sürekli olması için lim f(x) = lim f(x) = f(1) olmalıdır. Çarpımın türevi yardımıyla
x→ 1 − x→ 1 + ′ 1
=
x
9 = 9 = 9 olduğundan fonksiyon bu noktada süreklidir. f(x) 1⋅ x +⋅
2x
′
Fonksiyonun x = 1 apsisli noktada türevli olabilmesi için f(x) = x + x
bu noktada sağdan ve soldan türevleri eşit olmalıdır. 2
′
4
  5x , x 1≥ f(x) = 3x bulunur.
′
f (x) =  2
  5, x 1<
+
4
f′(1 ) = 5 ve f′(1 ) = 5 ∙ 1 = 5 olduğundan
−
Bu durumda istenen ifade
′
f′(1) = 5 bulunur. 1 13 a a
⋅ f(a) = ⋅ = bulunur.
6 6 2 4
Cevap: A
Cevap: D
9. Dik koordinat düzleminde grafiği verilen f fonksiyonu eksen-
leri (0, 5) ve (–3, 0) noktalarında kesmektedir.
y
7. f(x) = (x – a) ∙ (2x – 8) ve f′′(0) = 0 olduğuna göre a değeri y = f(x)
2
kaçtır?
5
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

Çözüm: 3 x
O
f(x) = (x – a) ∙ (2x – 8) çarpımın türevi kullanılarak fonksiyo-
2
nun iki defa türevi alınırsa
Buna göre f′(x) ifadesinin değeri kaçtır?
2
f′(x) = 2(x – a) ∙ (2x – 8) + (x – a) ∙ (2) 5 5 3 5 3 5 3 5 3 3 5 3 5 3 5 3
A) − − − C) 0 − − D) − −
−
B)
E)
3 3 5 3 5 3 5 3 5 5 3 5 3 5 3 5
f′(x) = 2(x – a) ∙ [(2x – 8) + (x – a)]
f′(x) = 2(x – a) ∙ [3x – 8 – a] Çözüm:
f fonksiyonunun grafiği x eksenini x = −3'te ve y eksenini
f′′(x) = 2 ∙ 1 ∙ [3x – 8 – a] + 2(x – a) ∙ (3) 5 3 5 3
y = 5'te kesen ve eğimi − − olan bir doğrudur.
f′′(x) = 12x – 16 – 8a 3 5 3 5
Bu doğrunun eğimi f fonksiyonunun türevine eşittir.
f′′(0) = 12 ∙ 0 – 16 – 8a = 0 5 3 5 3
Buradan f′(x) = − − bulunur.
a = −2 bulunur. 3 5 3 5
Cevap: E
Cevap: A
408