Page 438 - Dört Dörtlük - AYT - Matematik

MATEMATİK Türevin Uygulamaları ÇÖZÜMLÜ SORULAR

+
25. a, b ∈ ℝ ve f(x) fonksiyonu [a, b] aralığında pozitif değerli ve 27. Tanımlı olduğu aralıkta üçüncü dereceden bir f fonksiyonu
azalan bir fonksiyondur. a + 1
3
2
f(x) = x - (a + 1) x + (a - 3)x + 2
Buna göre 3
şeklinde veriliyor.
I. [f(x)] 2
f fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre a'nın
II. x - f(x)
x 2 en büyük tam sayı değeri kaçtır?
III.
f(x) A) - 2 B) - 1 C) 1 D) 3 E) 4
IV. f(x) - x 3

fonksiyonlarından hangileri aynı aralıkta azalan fonksi-
yondur? Çözüm:
a + 1
A) I ve II B) I ve III C) I ve IV f(x) = x - (a + 1) x + (a - 3)x + 2
3
2
3
D) II ve III E) III ve IV
Fonksiyonu bire bir ve örten fonksiyon ise fonksiyon daima
artan veya azalandır.
Çözüm:
+
a, b ∈ ℝ ve f(x) fonksiyonu [a,b] 'nda pozitif değerli ve azalan
bir fonksiyon ise
azalan artan
f(x) > 0 ve f ′(x) < 0 olur.
Bir fonksiyon daima azalan veya artan ise birinci türevinin
reel kökü yoktur veya çift katlı kökü vardır.
Verilen fonksiyonların türevlerini alalım;
a + 1 2
2
I. [f(x)] ⟹ 2f(x) ∙ f ′(x) < 0 azalan f′(x) = 3 ∙ x - 2 ∙ (a + 1)x + (a - 3)
3
2
II. x - f(x) ⟹ 1 - f ′(x) > 0 artan (a + 1) x - 2 ∙ (a + 1)x + (a - 3) = 0 ⟹ ∆ ≤ 0
x 2 2x ∙ f(x) - x ∙ f ′(x) 2
2
III. ⟹ > 0 artan ∆ = [2 ∙ (a + 1)] - 4 ∙ (a + 1)(a - 3) ≤ 0
f(x) [f(x)] 2
2
2
3
2
IV. f(x) - x ⟹ f ′(x) - 3x < 0 azalan olur. 4a + 8a + 4 - 4a + 8a + 12 ≤ 0
O hâlde I ve IV. ifadelerdeki fonksiyonlar azalandır. 16a ≤ - 16 ⟹ a ≤ - 1 bulunur.
Cevap: C Cevap: B

26. f(x) = 4x - mx - 6x + mx
3
2
m
fonksiyonunun A(1,0) noktasında bir extremum değeri
olduğuna göre fonksiyonun A noktası dışında en fazla
kaç extremum noktası daha olabilir?
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

Çözüm:
3
2
m
f(x) = 4x - mx - 6x + mx fonksiyonunun türevi alındığında
2
f'(x) = 4mx (m - 1) - 3mx - 12x + m olur.
2
f'(1) = 4m ∙ 1 (m - 1) - 3m ∙ 1 - 12 ∙ 1 + m = 0
4m - 3m - 12 + m = 0 ⟹ 2m = 12 ⟹ m = 6

2
5
f'(x) = 24x - 18x - 12x + 6 ⟹ f'(x) beşinci dereceden bir
fonksiyon olduğu için en fazla 5 kökü olabilir ve bunlardan
biri A(1, 0) dir. O hâlde A dışında en fazla 4 kök daha olabilir.
Cevap: D

438