Page 16 - Matematik 10 | 1.Ünite

Ver , Sayma ve Olasılık

10.1.1.3. Tekrarlı Permütasyon

21

ALA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulan anlamlı ya da anlamsız 3 harfli kelimeleri yazınız.

Koşula uygun kelimeler LAA, ALA ve AAL dir (Bu yazılışların her birinde A harflerinin birbiriyle yer değişti-
rilmesiyle farklı kelimeler yazılamayacağına dikkat ediniz.).

İpucu
n + n + n + ... + n = olmak üzere n tane nesnenin
n
1
r
3
2
n tanesi özdeş (aynı büyüklük ve özellikte), n tanesi özdeş, ..., nr tanesi özdeş ise bu n
1
2
n!
tane nesnenin farklı permütasyonlarının sayısı ile bulunur.
n! n! n! ... n!$ 2 $ 3 $ $ r
1

Özdeş nesneler olmasaydı n adet nesne n adet sıraya n! adet sıralanacaktı. n adet nesne için n
1
adedi aralarında özdeş, n adedi aralarında özdeş, ..., n adedi aralarında özdeş olsun. Bu nes-
2
r
nelerin kendi aralarında tekrarlanması, sonucu değiştirmediği hâlde nesneler fazladan sayılmıştır.
!
İlk gruptaki özdeş n adet nesnenin kendi aralarında yer değiştirmeleri n , ikinci gruptaki özdeş
1
1
n adet nesnenin kendi aralarında yer değiştirmeleri n!, ..., özdeş n adet nesnenin kendi ara-
2
2
r
!
larında yer değiştirmeleri n olmaktadır. Saymanın çarpma ilkesine göre tüm bu yer değiştirmeler
r
n 1 ! n$ 2 ! n$ 3 ! ... n$ $ r ! adet olur. Bu yer değiştirmeler sonucu değiştirmemektedir. Özdeş nesnelerin
yer değiştirmelerinin sayısı olan n! in n 1 ! n$ 2 ! n$ 3 ! ... n$ $ r ! sayısına bölünmesi gerekmektedir.
! n
Buradan elde edilir.
$
n 1 ! n $ 2 ! n $ 3 ! ... n $ r !
22

KELEBEK kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kaç farklı kelime ya-
zılabileceğini bulunuz.

KELEBEK kelimesinin harfleri içinde 2 tane K, 3 tane E, 1 tane L ve 1 tane B harfi vardır. Tekrarlı permü-
tasyonların sayısını veren formül kullanılarak yazılabilecek 7 harfli kelimelerin sayısı,
! 7 = ! 7 =
! 2311$ ! $ ! $ ! ! 23$ ! 420 olur.

28