Page 31 - Matematik 10 | 3.Ünite

14

Lise öğrencisiyken matematik dersini çok seven Ayşe Hanım, 10. sınıfta okuyan oğlu Eren’in okulda mate-
matik dersinde çarpanlara ayırma konusunu işlediklerini öğrenince bu konuyla ilgili Eren’in bilgisini ölçmek
amacıyla bir arsaya ait aşağıdaki bilgileri veriyor.

• Arsa dikdörtgen şeklindedir.
• Arsanın köşegen uzunluğu 20 metredir.
• Arsanın çevre uzunluğu 56 metredir.

Bu bilgiler doğrultusunda Ayşe Hanım, Eren’den
a) Arsanın alanının kaç metrekare olduğunu bulmasını istiyor.
b) Arsanın sadece çevre uzunluğu verilseydi alanının en çok kaç metrekare olabileceğini bulmasını
istiyor.
Soruları doğru cevaplayan Eren’in bu sorulara verdiği cevapları bulunuz.

a) Kenar uzunlukları x ve y metre olan bir ABCD dikdörtgeni çizilerek verilen bilgiler aşağıdaki gibi
yerleştirilir.
ABCD dikdörtgeninin çevresi 2 $ _ BC + CD i = 56 & BC + CD = 28 bulunur. Buradan
BC = xmetre olsun. Bu durumda CD = y = ^ 28 - h
x metre olur. Bu değerler aşağıdaki gibi
modellenirse

A D
. .

20 y = 28 - x

. .
B x C

& 2 2 2
BCD nde Pisagor teoremi uygulanarak x + ^ 28 - xh = 20 eşitliği elde edilir.
2 2 2 2 2
0
Buradan x + ^ 28 - xh = 400 & x + 784 - 56 x + x = 400 & 2 x - 56 x + 384 = olup bu ifade
çarpanlarına ayrılır.
2
2 x - 56 x + 384 = 0 & 2 $ ^ x - 28 x + 192 = 0 & 2 $ ^ x - 12 $ ^h x - 16 = 0 q lur .
2
h
h
x - 12
x - 16
Buradan x = 12 veyax = 16 bulunur. Bu değerlerin her biri için A ABCD = x 28$ ^ - xh ifadesi-
h
^
nin değeri 192 metrekaredir.
b) ABCD dikdörtgeninin çevresi 2 $ _ BC + CD i = 56 & BC + CD = 28 bulunur. Toplamları
verilen iki sayının çarpımlarının en büyük olabilmesi için birbirlerine en yakın değerleri alması
gerekir. Buradan BC = 14 ve CD = 14 seçilirse bu koşullarda verilen arsanın alanı en çok
BC $ CD = 196 metrekare olur.

181